Xét khai triển: 

\(\left(x+1\right)^{20}=C_{20}^0+C_{20}^1x+C_{20}^2x^2+...+C_{20}^{20}x^{20}\)

Chia 2 vế cho x ta được:

\(\dfrac{\left(x+1\right)^{20}}{x}=\dfrac{1}{x}+C_{20}^1+C_{20}^2x+...+C_{20}^{20}.x^{19}\)

Thay \(x=2\)

\(\Rightarrow\dfrac{3^{20}}{2}=\dfrac{1}{2}+C_{20}^1+2C_{20}^2+2^2C_{20}^3+...+2^{19}C_{20}^{20}\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{3^{20}-1}{2}\)

`S=C_20 ^1 + 2C_20 ^2 + 2^2 C_20 ^3 +....+2^19 C_20 ^20`

`<=>2S=2C_20 ^1+2^2 C_20 ^2 + 2^3 C_20 + .... + 2^20 C_20 ^20`

`<=>2S=C_20 ^0 +2C_20 ^1+2^2 C_20 ^2 + 2^3 C_20 + .... + 2^20 C_20 ^20 -C_20 ^0`

`<=>2S=(1+2)^20-1`

`<=>2S=3^20-1`

`<=>S=[3^20 -1]/2`

a) Để tính \(A_{15}^{10}\) ta ấn liên tiếp các phím

Thì nhận được kết quả là \(1,{08972864.10^{10}}\)

b) Để tính \(C_{10}^6 + C_{10}^7 + C_{11}^8\) thì ta ấn liên tiếp các phím

 Thì ta nhận được kết quả là 495

c) Để tính \(C_5^1C_{20}^2 + C_5^2C_{20}^1\) thì ta ấn liên tiếp các phím

Thì ta được kết quả là 1150

1=(2n+1)C0, (2n+1)Cn=(2n+1)C(n+1)...

-Có \(\left|x+1\right|+\left(y-2\right)^2=0\)

-Vì \(\left|x+1\right|\ge0\forall x;\left(y-2\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow\left|x+1\right|=0\) ; \(\left(y-2\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x=-1;y=2\)

-Thay \(x=-1;y=2\) vào \(C=2x^6y-3xy^3-20\) ta được:

\(C=2.\left(-1\right)^6.2-3.\left(-1\right).2^3-20=8\)

\(C=x^2-8x+20\\ C=x^2-8x+16+4\\ C=\left(x-4\right)^2+4\ge4\)

\(MinC=0\Leftrightarrow x-4=0\Leftrightarrow x=4\\ MinC=4\Leftrightarrow x=4\)

Ta có : R = \(9x^2\) - \(6xy+2y^2\) + \(5\)

= \(\left(3x\right)^2\) - \(2.3x.\sqrt{2}^2\) + \(\left(\sqrt{2}y\right)^2\) + 5

= \(\left(3x-\sqrt{2}y\right)^2\) + 5

Vậy min R = 5 khi \(\left(3x-\sqrt{2}y\right)^2\) =0